Werden uns jetzt erstmal um das "Sorgenkind" kümmern.
Sehr gut, Blick voraus!
Beim Gebrauchtmotorkauf hast du aber im Prinzip das gleiche Problem wie beim Kauf des ganzen Autos: man weiß nicht, in was für einem Zustand das Objekt ist. Einfach einen gebrauchten Motor kaufen und unbesehen tauschen könnte dann zum zweiten Frusterlebnis führen. Ich würde beim Kauf wenigstens den Zylinderkopf abnehmen, das schaft Klarheit beim Motor. Wenn es eine ganze Antriebseinheit ist (Motor+Getriebe), dann weiß man allerdings über das Getriebe immer noch nichts. Und auch beim Getriebe gibt's einige Probleme, die auftreten können.
Alternativ die vorhandene Antriebseinheit revidieren oder eine zweite gebrauchte komplett aufbauen kostet Zeit und Geld, und solange steht der Mini rum.
Wenn du länger beim Thema Mini bleiben willst, würde ich eine gebrauchte Antriebseinheit kaufen, dabei am besten jemand mit Erfahrung draufschauen lassen. Diese Einheit dann durchsehen und verbauen. Während man dann mit dieser Tauscheinheit fährt, kann man im Ruhe den ersten Motor neu aufbauen (lassen).
Einzige Gefahr dabei: wenn die zweite Einheit auch zickt, dann hat man schon zwei Baustellen. Und ich schätze einfach mal, der Antrieb ist bei deinem Mini nicht der einzige Bereich mit Handlungsbedarf, da steht bestimmt auch im Bereich Fahrwerk noch was an.
Aber Kopf hoch, wenn man den Mini einmal auf links gezogen und durchgearbeitet hat weiß man, woran man ist. 
Wie genau hat die Werkstatt den Schaden denn diagnostiziert? Und planst du an der Mechanik auch selbst zu arbeiten, oder bleibst du bei den äußerlichen Dingen und läßt das eine Werkstatt machen?
Grüße,
Andreas