Naja....woll'n wir es mal versuchen...
x = 473 - 111*ln(y) + 9,4*(ln(y))² - 0,33*(ln(y))³
-> versuchen den Logarithmus (naturalis) anders auszudrücken...
473 - x = [111 + 9,4*ln(y) -0,33*ln²(y)]*ln(y)
(473 - x)*e^y - 111 = [9,4 - 0,33 *ln(y)] * ln(y)
(473 - x)*e^2y - 111*e^y - 9,4 = -0,33*ln(y)
(x-473)*e^3y + 111*e^2y + 9,4*e^y = 0,33
-> jetzt versuchen die e-Funktion irgendwie zu linearisieren...dafür gibt's sowas wie Taylorreihen..die wir mal nach dem ersten oder zweiten glied abbrechen, dh.
e^y = summe_n(y^n / n!) für n = 0..oo
hier: n=2
dh: e^y = 1+ y + 0,5*y^2...
ok..da wir später nicht an Verklammerung und Verschachtelung sterben wollen, lassen wir also das zweite Glied mit dem Hinweis, dass das Ergebnis einen größeren Linearisierungsfehler haben wird, weg. 
(x-473)*(1+3y) + 111*(1+2y) + 9,4*(1+y) = 0,33
(x-473) + 111 + 9,4 + y(3x-3*473+222+9,4) = 0,33
y(3x-3*473+222+9,4) + x = 0,33+352,6 = -352,27
y*3x + x - y *1187,6 = -352,27
y(3x - 1187,6) = -352,27 - x
Und wenn ich die Taylorreihe richtig angewendet und mich sonst nirgends verrant habe, dann sollte das Ergebnis folgendes sein:
y = (352,27 + x) / (1187,6 - 3x)
Die Ausgangsformel mit den ln(y) war übrigens keine Differentialgleichung (DGLs haben Variablen und deren Ableitungen in einer Gleichung stehen, hier hat man nur verschiedene Potenzen einer Variablen drin).