Also ein Vergaser und kein Einspritzer.
Bei einem Einspritzer könnte die Relais-Box das Problem verursachen, daher biz´s Frage nach dem Modell.
Bei einem Vergaser ist es schon etwas "einfacher", den Fehler zu finden.
Erste Frage: HiFi-Verstärker eingebaut? Wird der evtl. nicht abgeschaltet?
Sonstiges elektrisches Zubehör nachgerüstet?
Zweite Frage: Wie alt ist die Batterie? Eine alte Batterie kann sich durch interne Schlüsse (Bleischlamm) langsam entladen. Irgendwann ist sie dann plötzlich ganz tot.
Im Zweifelsfall mal mit einer anderen/neuen Batterie testen.
Vorab aber erst mal die von biz genannten Masseverbindungen (Batterie zur Karosserie und Motor zur Karosserie) kontrollieren und die Kontaktstellen metallisch blank reinigen. Mit etwas Batteriepolfett konservieren und wieder fest montieren.
Als nächstes das Batterie + Kabel von der Batterie bis zum Anlassermagnetschalter kontrollieren. Irgendwo Scheuerstellen? Bekannte Problemstellen sind die Durchführung in den Kofferraum, sowie der Übergang vom Fahrzeugboden zum vorderen Hilfsrahmen. Bei einer Scheuerstelle kann sich die Batterie auch über feuchten Dreck langsam entladen.
Anschlüsse genauso wie bei den Massekabeln reinigen...
Jetzt brauchst du eine Multimeter.
Zündung bleibt ausgeschaltet.
Massekabel an der Batterie abklemmen.
Multimeter auf Stellung Ampere (A).
Rotes Messkabel an den - Pol der Batterie klemmen.
Schwarzes Messkabel an das Massekabel zur Karosserie anklemmen.
Jetzt fließt sämtlicher Strom durch das Messgerät.
Wenn alles OK ist, sollte 0,0 A angezeigt werden. In diesem Fall dürfte die Batterie selbst faul sein 
Werden aber messbare Ampere-Werte angezeigt, fließt Strom, obwohl die Zündung ausgeschaltet ist = Fehler.
Wenn eine Uhr eingebaut ist, diese als erstes abklemmen.
Wenn ein Radio eingebaut ist (Sendermemory/Uhr) dieses auch abklemmen.
Verstärker eingebaut? Diesen abklemmen.
Fließt immer noch Strom, den Stecker der Lichtmaschine abziehen. Kein Stromfluß mehr = Lima kaputt
Dann kannst du probeweise eine Sicherung nach der anderen aus dem Sicherungskasten, sowie aus den "fliegenden" Sicherungen hinter´m Luftfilter nehmen.
Kein Stromfluß mehr? Dann ist es der entsprechende Stromkreis. Dann wird die Suche allerdings unfangreicher 
"Gerne genommene" Fehlerquelle ist das Warnblinkrelais, bzw. dessen Anschlussstecker in Verbindung mit nasser Motorraumdämmung 
Immer noch Stromfluß? Das Batteriekabel am Anlassermagnetschalter abschrauben. Vorher zur Sicherheit das Multimeter von der Batterie abklemmen, denn wenn du beim Schrauben einen Kurzschluß baust, raucht das Multimeter ab 
Wenn das Kabel ab ist, Multimeter wieder anschließen. Kein Stromfluß mehr = Anlassermagnetschalter kaputt (ist aber eher selten)
Ich tippe mal auf alte Batterie oder Lima kaputt 
Dazu die Kombination schlechter Kontakte an den Massekabeln 
Gruß, Diddi