Sollte sich herausstellen, dass der Sicherungskasten getauscht werden muss, sollte ich den gleichen wieder nehmen? Oder gibt es bessere Alternativen?
Welche Funktion hat denn das Relais unterhalb des Sicherungskasten (siehe Foto)?
Der originale Sicherungskasten ist gar nicht sooo schlecht. Er hat immerhin recht lange gehalten 
Wenn du ihn selbst erneuern willst, würde ich beim originalen bleiben, da das die einfachste Möglichkeit ist. Vor dem Ausbau notieren, wo welches Kabel angeschlossen ist und dann am neuen wieder genauso aufstecken!
Die Frage zum Relais kann dir leider nur der beantworten, der es eingebaut hat, da es nicht original ist. Oder man verfolgt die Kabel und findet es so heraus.
Die dafür gewählten Kabelfarben sind "mit Vorsicht zu genießen", da für die Masse ein braunes Kabel verwendet wurde. In der deutschen Auto-Elektrik ist braun zwar richtig für Masse, aber beim Engländer ist es Dauer +, ohne Sicherung,..
Also gibt´s deutlich Potenzial für Verwirrung... 
Es handelt sich um ein Relais mit 5 Anschlüssen, also kein einfaches Arbeits-Relais, sondern ein Wechsel-Relais.
Das Relais könnte evtl. für die Benzinpumpe sein, genauso aber auch für deine Zusatzscheinwerfer, die ja auch nicht mehr funktionieren, seit dem du Sicherungen erneuert hast...
Wegen dem linken Rücklicht schau erst mal nach der Birne selbst. Ein `84er Mini hat noch keine getrennte Absicherung für Standlicht links/rechts, wie es spätere Minis haben. Das gesamte Standlicht, inkl. Instrumenten-Beleuchtung hängt an der untersten Sicherung des Sicherungskastens (rote Kabel)
Gruß, Diddi