Wie Meister-Mini schon schreibt, deutet alles auf ein Problem mit der Masseverbindung hin. Da gibt´s beim Mini 2 chronische Stellen.
1. Auf der Beifahrerseite, unterhalb vom Zylinderkopf, geht eine Drehmomentstrebe (Knochen genannt) nach hinten zur Karosserie. Zusammen mit dieser Drehmomentstrebe ist ein Masseband verschraubt. Die Haupt-Masseverbindung für den Motor!!!
Dieses Masseband komplett ausbauen, Kontaktflächen am Masseband und an der Karosserie mit Schleifpapier metallisch blank reinigen. Sieht das Masseband schon sehr "mitgenommen" aus, am besten ein neues besorgen.
Masseband wieder einbauen und die Verschraubung zur Karosserie mit Batteriepolfett konservieren.
2. Das Massekabel der Batterie an der Karosserie abschrauben. Auch hier die Kontaktflächen mit Schleifpapier metallisch blank reinigen, ja auch den Lack entfernen, anschrauben und mit Batteriepolfett wieder konservieren.
Dann sollte der Anlasser wieder wie gewohnt funktionieren 
Gruß, Diddi