Wie mache ich dann am besten?
Du kannst es erst mal mit einem Fön (kein Heißluftfön) versuchen. Den Knopf gut durchwämen und dann versuchen zu ziehen.
Klappt das nicht, hilft nur das Ausbauen des Verstellmechanismus.
Auf dem Foto kann man erahnen, dass du die "Blechkasten-Heizung" im Auto hast. Da funktioniert der Ausbau auch im Auto, ohne die Heizung komplett auszubauen. Sei aber gewarnt, dass du dir beim Wiedereinbau, spätestens beim Einstellen der Lüfterklappe, wünschen wirst, das Ding läge auf der Werkbank... 
Stell die Lüftung auf "OFF". Schau mal mit einer Lampe von unten in die große Lüftungsöffnung. Da kannst du sehen, dass der Hebelmechanismus über eine Klemmung mit einem Drahtstift mit der Klappe verbunden ist. Ähnlich wie Gas- und Chokezug am Vergaser.
Man kommt aber nur sehr "bescheiden" da dran. Vor allem, im Auto eingebaut...
Die Heizung bleibt an der Quertraverse angeschraubt, muss also nicht nach unten gekippt werden.
Der Hebelmechanismus ist mit 3 Schrauben von außen auf einen Gehäusedeckel geschraubt. Diese einfach abschrauben hilft dir allerdings nicht weiter, da du nicht an gut an die Klemmung kommst.
Der Gehäusedeckel ist mit nur 2 Schrauben am Heizungsgehäuse angeschraubt. Jeweils links und rechts am Deckelrand, etwa auf mittlerer Höhe.
Diese 2 Kreuzschrauben raus drehen. Beide Kabel vom Lüftungsschalter abziehen. Mit dem Lüftungshebel in Stellung "OFF" kannst du jetzt den Gehäusedeckel von der Heizung weg ziehen. Dabei wird die Lüftungsklappe geöffnet und die Klemmung wird zugänglich.
Klemmung los schrauben und du hast den Gehäusedeckel inkl. Verstellmechanismus in der Hand 

Jetzt kannst du den Mechanismus vom Deckel abschrauben und in den Schraubstock damit... 
Fummelig wird´s dann beim Wiedereinbau. Die Klemmung zur Luftklappe muss zum Schluss eingestellt werden. Dazu Klemmung lösen. Hebel in "OFF", Klappe voll zu drücken und Klemmung wieder anziehen... Hört sich simpel an, aber auf der Werkbank geht´s einfach und erspart dir einen krummen Rücken...
Gruß, Diddi